Gödel, Escher y Bach

Así  se titula el libro que me estoy leyendo! Escrito por Douglas R. Hofstandter y que ganó el premio Pulitzer en 1979. Un diamante en bruto… solo el hecho de tenerlo en las manos me pone de buen humor. Es un libro que investiga los «bucles extraños», de hecho el subtitulo del libro es » Un eterno y gracil bucle». Me acabo de dar cuenta que me encanta la palabra «bucle» y su significado.

¿¿¿Qué que es un bucle extraño???

Un  bucle extraño es por ejemplo lo que crea Escher en sus grabados más famosos.
<p style=»text-align: center»><img src=»http://pekinhouse.com/wp-content/uploads/2008/01/escher.jpg» title=»Escher» alt=»Escher» border=»1″ hspace=»10″ vspace=»10″ /></p>
Un bucle extraño lo que crean las siguientes frases:
<h3> La afirmación que sigue es falsa.</h3>
<h3>La afirmación que antecede es verdadera.</h3>
Pues el libro trata de encontrar los paralelismos que existen entre Gödel (lógico y matemático Alemán, muy amigo de Einstein), Escher (Artísta Holandes del que destacan sus grabados que fascinan a todo el mundo y del cual en <a href=»http://pekinhouse.com/?s=escher» title=»escher» target=»_blank»>este humide blog puedes encontrar mucha información sobre él</a>) y Bach (Compositor Alemán considerado por muchos y por mí, como el mejor y más completo compositor de la historia) y los bucles extraños. Como el autor indica: «me di cuenta de que Gödel, Escher y Bach eran solamente sombras dirigidas en diversas direcciones de cierta esencia sólida central. Intenté reconstruir el objeto central, y llegué con este libro.»

El tema central del libro es más abstracto. Hofstadter se pregunta: «¿Siguen las <a href=»http://es.wikipedia.org/wiki/Palabra» title=»Palabra»>palabras</a> y las <a href=»http://es.wikipedia.org/wiki/Idea» title=»Idea»>ideas</a> reglas formales, o no?» En el prefacio de la edición del vigésimo aniversario, Hofstadter lamenta que su libro haya sido malcomprendido como una mezcolanza de cosas ingeniosas sin un tema central. Indicó: «GEB es una tentativa muy personal de decir cómo es que los seres animados pueden salir de la materia inanimada. ¿Qué es un «uno mismo», y cómo puede un «uno mismo» salir de cosas tan faltas de ser como una piedra o un charco?»

Acabo de empezar el libro y os ire narrando todo lo que aprendo de él en los post siguientes…

<a href=»http://es.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%2C_Escher%2C_Bach:_un_Eterno_y_Gr%C3%A1cil_Bucle» title=»GEB en wikipedia» target=»_blank»></a>Pero no soy pionero en esto, tambien existe un<a href=»http://gracilbucle.blogspot.com/» title=»blog GEB» target=»_blank»> blog de alguién que como yo quiso narrar lo que aprendía mientras leía el libro</a>.

¿Qué ofrece este libro que lo hace especial? Eso es lo que intentaré descubriros poco a poco.

phi

Ya comentaremos con detenimiento la importancia de este video en el proximo capitulo de «la ecuación en el arte», que tendrá como objeto los fractales.

Si quereis saber un poco más mientras os aconsejo el visionado del film π de Darren Aronofsky.

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el martenot de Messiaen

Un amigo, de esos que uno agradece tener, me paso el otro día un video de un instrumento de principios de siglo llamado Ondes Martenot. Un instrumento que muchos conoceis sin daros cuenta; desde su inveción en el 1928 han sido muchos los que han hecho vibrar este curioso instrumento, grupos como Radiohead o U2, o en las películas Amelie o Lawrence de Arabia, o en series como Los Simpsons; seguro que habeis visto alguna vez un especial de halloween en los Simpsons, pues siempre utilizan este instrumento para la sintonía de entrada…

Bueno no os vayamos por las ramas que este, es un post cultureta ;-), aquí teneis el video que me paso mi amigo sobre el Ondes Martenot, una pasada como funciona…

Este extraño piano simboliza el inicio de la música electrónica, es el abuelo de los Kraftwerk y el tatarabuelo de Aphex Twin. (lo siento pero no me he resistido a poneros un video de los genios Kraftwerk):

Bueno pero centremonos en lo que realmente quería contaros!! Messiaen,
Oliver Messiaen es un compositor francés nato a inicios del siglo XX; es FASCINANTE con todas las letras. Introdujo en alguna de sus obras el instrumento que hoy nos ocupa, y compuso autenticas obras de arte.

Sus obras son complejísimas, tanto en el ritmo como en su composición, basadas armónica y melodicamente en una forma que él mismo creó, denominada «modos de transposición limitada». Fue un compositor influenciadísimo por los ritmos más extraños de la India, Indonesia o Japón y la música de la antigua Grecia… pero sobre todo su principal inspiración fue el Color y el Canto de los Pájaros.

Expresaba color con su música; en sus partirturas dibujaba el color con el propósito de ayudar al director en la interpretación. «El color con Messiaen pasa a ser un elemento fundamental, estructural; el material fundamental de la propia música.»

Por otra parte decía que los pájaros son los mejores músicos de la tierra y se consideraba a él mismo más como un ornitólogo, que como compositor. Por eso su música se hace tan particular y especial; por que con solo oir el ritmo de sus obras, las percusiones afinadas, el expresionismo y los colores de su música no puedes dudar ni por un momento que se trata de él.

Escuchar un poco de este genio y sentir como vibran las ondas de su Martenot, (Increible al final)

¿quién me iba a decir a mí que en un mismo post podría hablar de los Simpsons, de Kraftwerk y de Messiaen?

+info:

excelente árticulo en la wikipedia de Messiaen

ondes martenot en wikipedia

la ecuación en el arte II (apéndice) – escuchando la razón aurea

Hace unos meses escribí uno post que considero de los mejores de todo el blog, «la ecuación en el arte II – escuchando la razón aurea», es el segundo capitulo de una serie de cinco, que intentan reflexionar sobre la relación entre matemática y arte. El proximo capítulo será dentro de muy poquito y tratara sobre los fractales; pero hoy encontre un video que esta directamente relaccionado con el segundo capitulo sobre música y matemática, y me veo en la obligación con mis lectores de ponerlo.

El video es la representación gráfica de la Fuga en Re menor de J.S. Bach, quién si no, si no Bach puede expresar mejor la idea que intento hacer ver; la fuga es pura matemática, y como vereis en el video la estructura melódica asusta de lo estructurada y mecanicamente perfecta que es. Solo Bach, para mi el maximo exponente de la historia música, puede jugar de esta forma con la melodia.

+info: Etiqueta de Matemática y Arte en Retrosperspectiva  (Creo que lo mejor de mi blog esta aquí)

espiraleando escaleras

Si hay una figura geométrica que me apasione es la espiral… clotoides, logarítmicas, hiperbólicas sean como sean siempre me fascinan. Desde hace ya unos años me gusta coleccionar imagenes de elementos cotidianos, naturales o no, que contienen esta maravilla geométrica: cactus, humos, caracoles, cascaras, bombillas, lenguas de mariposa, cables de telefono… Gaudi, Escher, Bach, Mandelbrot… nuestra galaxia. Pero siempre he tenido predileccion por un elemento en particular, la escalera, digamos que siempre me ha gustado la idea de que una misma linea continua una diversos planos. Por ello tengo una colección con más de 400 fotos de escaleras espiroideas, caracolienses, infinitas que me gustaria compartir con todos… Mira desde el último piso de tu edificio y disfruta de la vista… Muerte al ascensor!!

Set de Flickr lleno lleno lleno de escaleras/espirales/escaleras/espirales/escaleras

+info: en este blog: Matemática y Arte

la ecuación en el arte II – escuchando la razón aurea

Recuerdo que cuando era pequeño proyectaron en el conservatorio una película documental de Disney sobre la música y su evolución… una escena que se quedo grabada en mi pequeño cerebro de 9 años era en la que el pato Donald explicaba la música en el mundo greco, mostrando como se creaba una escala musical a partir de la figura geométrica del pentágono. Nunca podré olvidar la sensación que sentí al ver la imagen del pentágono convirtiéndose en música, fue para mi toda una revelación… ¿cómo era posible que algo tan abstracto como el sonido, como una escala musical respondiese a las mismas proporciones que un pentágono? ¿cual es la verdadera relación que existe entre el pentágono y la escala? ¿Por qué coinciden? Si tomamos la matemática como lo que es, un lenguaje, (un lenguaje deductivo que expresa las relaciones entre diferentes entes abstractos) llegamos a la conclusión de que existe alguna conexión… lo que intentaremos es dilucidar cual es esa conexión.

Este tema es tan inmenso como apasionante… por lo tanto estructurarlo de una forma clara sin que se mezclen conceptos es un poco complicado. Pero empezaremos por lo más obvio… el lenguaje musical, es decir la anotación musical, la sistematización a través de la cual podemos expresar y medir la música; (lo que llamamos notas, figuras, pentagrama…) todo este conjunto de símbolos y estructuras es un sistema matemático puro y duro. Por ejemplo, se especifica que “un tiempo de compás dura 1 segundo”: a partir de esta medida inicial se expresan el resto de los tiempos de manera fraccionaria… es decir lo que nos decían en el colegio: “una negra es igual a dos corcheas”.
En un segundo nivel más abstracto hablamos de la armonía: La unión y combinación de sonidos simultáneos y diferentes, pero acordes, es decir, que al tocar dos notas diferentes suene bien al oído humano… y aquí reflexionamos ¿Qué elemento determina que dos sonidos que reproducen al mismo tiempo produzcan “placer” para nuestros oídos? En la práctica se trata de otro sistema matemático completamente cerrado, que establece siempre las proporciones determinadas que deben guardar los tonos de las notas para poder “convivir bien” juntos. El sistema de escalas es lo mismo, determinadas por el numero de tonos y semitonos que debe tener según su tipología.
Los instrumentos de música (la acústica) son autenticos joyas de ingeniería que se han ido desarrollando siglo tras siglo. Desde los indios en 3000 a.C hasta las más modernas empresas ingeniería industrial, pasando por Pitágoras, los Luthiers y Da Vinci, se han preocupado siempre por la obtención del sonido más puro, del sonido perfecto. ¿De donde obtiene el Stradivarius su mágico sonido?Pues de la geometría, de unas proporciones determinadas que lo hacen único, además de sus materiales. El instrumento, al fin y al cabo, debe permitir ejecutar cualquier sonido a la velocidad que se requiera sin entorpecer al interprete, es decir, ergonomia! Mirad el video y decirme si no es un instrumento de precisión…

Pero adentremonos un poco más, vayamos a la materia prima de la música = El sonido: son ondas, pero no unas ondas cualquiera, son bastante particulares, que se propagan en el aire. Estudios como los de Wilhelm Weber han demostrado que las ondas del sonido tienen algo muy particular; al someter a una plancha de metal a las ondas con sal encima… se puede ver como estas ondas según la altura de la nota que esta reproduciendo produce un dibujo geométrico diferente (tal como muestra el video):

¿Increible verdad?

Y ahora nos falta el elemento de la música más importante: nosotros. El humano tiene el sentido del oído y es justo este el último interprete de la música. Nuestro oido alberga muchos secretos, la complejidad de su proceso de interacción, aun hoy, no se entiendo del todo… su elemento más importante es la cóclea (caracol), ”En la cóclea las vibraciones que golpean el tímpano se transmiten por los huesecillos del oído (el martillo, el yunque y el estribo) hacia el oído interno, y las vibraciones sonoras del aire se transforman en señales en el sistema nervioso. Esta interacción entre energía sonora e impulsos nerviosos es bien conocida; sin embargo, sabemos muy poco acerca de la forma en que se procesa esta variedad de información, o impresiones sobre el sistema nervioso”. Curiosamente toda la familia del violín tiene en su parte superior la forma de caracol con las mismas proporciones de la cóclea, esta figura geométrica ha sido usada desde los inicios y marca el ordenamiento interno de la construcción del instrumento.

¿Qué proporción es esta que comparte el oído humano con casi todos los elementos que hemos citado en el post? La proporción áurea.

+info:

la proporción aurea – redes TVE2 – Punset (leer sin falta)

el numero aureo – wikipedia

la construcción de violines y el mundo del sonido armónico

entre las matemáticas y la música

Anterior capítulo: La ecuación en el arte I – Belleza programada

Siguiente capítulo: La ecuación en el arte III – Fractales ( teoría del caos, curiosidades, aplicaciones, modelos, música fractal…)

el efecto droste

El otro día estuve en la exposición retrospectiva del uno de mis artistas favoritos, M.C. Escher, a la cual os pido encarecidamente que vayáis si vivís en Madrid, por que es un espectáculo fuera de lo común. Pero mi post de hoy no trata de Escher (que ya tendrá uno suyo), si no de un efecto que el supo explotar perfectamente y que me vuelve completamente loco: El efecto Droste.

Para Escher la belleza estaba en la repetición y el efecto Droste es el paradigma absoluto de la repetición. El efecto toma su nombre de una marca holandesa de cacao en polvo, en cuyo envase existía la ilustración de una enfermera que sostenía en su mano una bandeja, en la cual aparecía una taza de cacao humeante y al lado el envase del mismo producto, cuya imagen era la misma que se veía en primer plano; de esta forma comienza una serie infinita en la que la enfermera aparece siempre sujetando la bandeja en la que esta el envase. Seguro que muchas veces has pensado en este efecto por que es bastante común en nuestra vida diaria, por ejemplo cuando grabamos con una cámara de vídeo el televisor por el cual estamos reproduciendo lo que se graba, o en envases del supermercado, spots de publicidad y, como no, en los cuadros de Escher.

Este efecto fue llevado por Escher mas allá con el grabado “la galería de dibujos”, en el cual no solo produce este efecto, si no que une de manera magistral la imagen del primer plano con la del segundo deformando la imagen, creando así una espiral infinita y unida en la que se esta viendo todo el rato lo mismo. La inspiración fráctal y un dominio extraordinario de la geometría y la matemática sugirieron a Escher crear esta obra maravillosa obra. Hoy en día se sabe que era una de las que más orugulloso estaba su autor.

Y llegamos a hoy en día, las matemáticas se fusionan con el ordenador, y lo que a Escher le llevo meses de estudio y bocetos, se ha simplificado en un logaritmo, ja ja.

Lo que realmente me fascina de este efecto es que la realidad duplicada parece estar en otra dimensión, no parece ser un reflejo, habita en otro mundo. Cuando pones dos espejos mirándose uno frente al otro ocurre lo mismo, todo aquello que pasa entre ellos viaja a otro mundo, se duplica de tal forma que deja de pertenecer a esta esfera. Esta es la verdadera magia que intento que alguno de vosotros vea 🙂

+info:

estudio matemático y geométrico del efecto droste

grupo en flickr con muchas fotos con este ejemplo (recomendadísimo)

salvapantallas para tu ordenador con este efecto con el dibujo de Escher (maravilloso)

mathMap: programa de mac para crear este efecto con tus fotos (ojo! se necesita altos conocimientos de matemática)

la ecuación en el arte I – belleza programada

Empiezo con este post el primer capitulo de un tema que me apasiona… la relación entre la matemática y el arte (la música, la geometría, la proporción, la perspectiva, la espiral áurea, tecnologías informáticas y los fractales)

Lo primero, no soy matemático, ni ingeniero, ni nada parecido… por no ser, no soy ni entendido, soy un chico de letras puras, aunque confieso que comulgo en muchos aspectos con la doctrina positivista. Lo que realmente me atrae de este tema es que algo tan subjetivo, tan pasional, azaroso y bello como el arte puede provenir de números. ¿Cómo algo tan humano e inherente en el hombre como el arte (sentimiento y abstracción) puede ser «simplificado» a proporciones y ecuaciones? ¿Cual es la verdadera relación entre hombre y numero? ¿Qué tiene la matemática que la hace tan elegante, pura y enigmática? Buscaremos repuestas y no las hallaremos… pero sabremos un poco más…

La programación, no es otra cosa que un lenguaje informático, que al igual que la matemática, es una mera abstracción; un lenguaje que interactua, que produce, que da un resultado. Un lenguaje de programación permite a un programador especificar de manera precisa: sobre qué datos una computadora debe operar, cómo deben ser estos almacenados y transmitidos y qué acciones debe tomar bajo una variada gama de circunstancias. Todo termina basándose en la creación de un mecanismo que responda de una determinada forma ante un determinado estimulo, basándonos en los cálculos que queramos (patrones, logaritmos, ecuaciones…).

A través de un juego con variables determinamos por ejemplo que cuando yo hago click con mi ratón en un lugar del plano los valores de X e Y responden de una forma determinada. En la página de artista Jared Tarbell tenemos un montón de ejemplos maravillosos sobre esto… Sus obras se desarrollan a partir de un click nuestro creando un dibujo diferente, y la verdad que los resultados son espectaculares… Tarbell se sirve de las ecuaciones y de los logaritmos para que de forma automática surjan formas sugerentes.

Ejemplo 1 Elige el tamaño que quieras y pulsa la barra espaciadora.

Ejemplo 2 Haz click pata crear un nuevo dibujo.

Esta claro que aquí el artista es el que ha creado la obra y todo el mérito estético es suyo… pero el producto final es un mero juego matemático. Lo realmente bonito de esto es que la obra casi siempre es única, y es una obra creada a partir de un gesto tuyo… es decir hay una parte de ti en la obra… ya que eres tú quien la generaste 😉

+ info: Jared Tarbell Gallery

Galería de otro programador artista